Hệ thức Vi-et, Ứng dụng các dạng toán liên quan và Bài tập – Toán lớp 9

Là một phần kiến thức của phương trình bậc 2 một ẩn nhưng hệ thức Vi-ét được ứng dụng trong nhiều dạng toán và bài tập. Đây cũng là nội dung thường hay xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.

Vậy hệ thức Vi-ét được ứng dụng vào các dạng bài toán nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này. Đồng thời vận dụng hệ thức Vi-ét để giải một số bài tập toán liên quan để qua đó rèn luyện kỹ năng làm toán của các em.

I. Kiến thức phương trình bậc 2 một ẩn và hệ thức Vi-ét cần nhớ

1. Phương trình bậc 2 một ẩn

i) Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax² + bx + c = 0, trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0.

ii) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

– Đối với phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b² – 4ac:

• Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $small x_{1}=frac{-b+sqrt{Delta }}{2a};x_{2}=frac{-b-sqrt{Delta }}{2a}$

• Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $small x_1=x_2=-frac{b}{a}$

• Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

2. Hệ thức Vi-ét

• Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm $small x_{1}=frac{-b+sqrt{Delta }}{2a};x_{2}=frac{-b-sqrt{Delta }}{2a}$ khi đó:

$small x_1+x_2=frac{-b+sqrt{Delta }}{2a}+frac{-b-sqrt{Delta }}{2a}=-frac{b}{2a}$

$small x_1.x_2=left (frac{-b+sqrt{Delta }}{2a} ight ).left (frac{-b-sqrt{Delta }}{2a} ight )=frac{b^2-Delta }{4a^2}=frac{4ac}{4a^2}=frac{c}{a}$

Đặt: Tổng nghiệm là: $small S=x_1+x_2=frac{-b}{a}$

Tích nghiệm là: $small P=x_1.x_2=frac{c}{a}$

• Định lý VI-ÉT: Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

$small left{egin{matrix} x_1+x_2=-frac{b}{a} x_1.x_2=frac{c}{a} end{matrix} ight.$

• Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X² – SX + P = 0, (Điều kiện để có hai số đó là S² – 4P ≥ 0).

* Chú ý: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm:

• Nếu nhẩm được: x₁ + x₂ = m + n; x₁x₂ = m.n thì phương trình có nghiệm x₁ = m; x₂ = n.

– Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: $small x_1=1;x_2=frac{c}{a}$

– Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: $small x_1=-1;x_2=-frac{c}{a}$

* Nhận xét: Như vậy ta thấy hệ thức Vi-ét liên hệ chặt chẽ nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn với các hệ số a, b, c của nó.

II. Ứng dụng của hệ thức Vi-ét trong việc giải các bài tập toán liên quan.

1. Nhẩm nghiệm của phương trinh bậc hai một ẩn

* Ví dụ: Giải các phương trình sau (bằng cách nhẩm nghiệm).

a) 3x² – 8x + 5 =0

b) 2x² + 9x + 7 = 0

c) x² + x – 6 = 0

° Lời giải:

a) 3x² – 8x + 5 =0 (1)

– Ta thấy pt(1) có dạng a + b + c = 0 nên theo Vi-ét pt(1) có nghiệm:

$small x_1=1;x_2=frac{5}{3}$

b) 2x² + 9x + 7 = 0 (2)

– Ta thấy pt(2) có dạng a – b + c = 0 nên theo Vi-ét pt(1) có nghiệm:

$small x_1=-1;x_2=-frac{7}{2}$

c) x² + x – 6 = 0

– Ta có: x₁ + x₂ = (-b/a) = -1 và x₁.x₂ = (c/a) = -6 từ hệ này có thể nhẩm ra nghiệm: x₁ = 2 và x₂ = -3.

2. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x₁, x₂

* Ví dụ 1: Cho x₁ = 3; x₂ = -2 lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm này.

° Lời giải:

– Theo hệ thức Vi-ét ta có: $small left{egin{matrix} S=x_1+x_2=1 P=x_1.x_2=-6 end{matrix} ight.$ vậy x₁, x₂ là nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn có dạng:

x² – Sx + P ⇔ x² – x – 6 = 0

* Ví dụ 2: Cho x₁ = 3; x₂ = 2 lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm này.

° Lời giải:

– Theo hệ thức Vi-ét ta có: $small left{egin{matrix} S=x_1+x_2=5 P=x_1.x_2=6 end{matrix} ight.$ vậy x₁, x₂ là nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn có dạng:

x² – Sx + P ⇔ x² – 5x + 6 = 0

3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

– Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x² – Sx + P = 0 (điều kiện để có hai số đó là S² – 4P ≥ 0).

* Ví dụ 1: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 1 và a.b = -6

° Lời giải:

– Vì a + b = 1 và a.b = -6 nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x² – x – 6 = 0.

– Giải phương trình này ta được x₁ = 3 và x₂ = -2.

* Ví dụ 2: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = -3 và a.b = -4

– Vì a + b = -3 và a.b = -4 nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x² + 3x – 4 = 0.

– Giải phương trình này ta được x₁ = 1 và x₂ = -4.

4. Tính giá trị của biểu thức nghiệm phương trình bậc hai

– Đối với bài toán này ta cần biến đổi các biểu thức nghiệm mà đề cho về biểu thức có chứa Tổng nghiệm S và Tích nghiệm P để vận dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức này.

* Ví dụ: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình: $small x^{2}+x-2+sqrt{2}=0$ . Không giải phương trình, tính các giá trị của biểu thức sau:

$small A=frac{1}{x_1}+frac{1}{x_2};$ $small B=x_{1}^{2}+x_{2}^{2};$ $small C=left |x_{1}+x_{2} ight |;$ $small D=x_{1}^{3}+x_{2}^{3};$

° Lời giải:

– Ta có: $small left{egin{matrix} S=x_1+x_2=frac{-b}{a}=-1 P=x_1.x_2=frac{c}{a}=-2+sqrt{2} end{matrix} ight.$

$small small A=frac{1}{x_1}+frac{1}{x_2}=frac{x_2+x_1}{x_1.x_2}=frac{-1}{-2+sqrt{2}}=frac{1}{2-sqrt{2}}$

$small B=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_1.x_2-2x_1.x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2$

$small C=left |x_{1}-x_{2} ight |=sqrt{(x_1-x_2)^2}=sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_1x_2}$

$small =sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_1x_2-4x_1x_2}=sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$

$small =sqrt{1-4(-2+sqrt{2})}=sqrt{1-4sqrt{2}+(2sqrt{2})^2}$ $small =sqrt{(2sqrt{2}-1)^2}=2sqrt{2}-1$

$small D=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$

5. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho nghiệm này độc lâp (không phụ thuộc) với tham số

• Để giải bài toán này, ta thực hiện như sau:

– Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x₁, x₂

– Áp dụng hệ thức Vi-ét ta tính được S = x₁ + x₂ và P = x₁x₂ theo tham số

– Dùng các phép biến đổi để tính tham số theo x₁ và x₂, từ đó dẫn tới hệ thức liên hệ giữa x₁ và x₂.

* Ví dụ: Gọi x₁, x₂ là nghiệm của phương trình: (m – 1)x² – 2mx + m – 4 = 0. Chứng minh rằng biểu thức A = 3(x₁ + x₂) + 2x₁x₂ – 8 không phụ thuộc vào m.

° Lời giải:

– Để phương trình trên có 2 nghiệm x₁ và x₂ thì:

$small left{egin{matrix} a eq 0 Delta geq 0 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} m eq 1 m^{2}-(m-1)(m-4)geq 0 end{matrix} ight.$ $small Leftrightarrow left{egin{matrix} m eq 1 5m-4geq 0 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} m eq 1 mgeq frac{4}{5} end{matrix} ight.$

– Theo hệ thức Vi-ét ta có: $small left{egin{matrix} x_1+x-2=frac{2m}{m-1} x_1x_2=frac{m-4}{m-1} end{matrix} ight.$

– Thay vào biểu thức A ta được:

$small A=3(x_1+x_2)+2x_1x_2-8=3.frac{2m}{m-1}+2.frac{m-4}{m-1}-8$

$small =frac{6m+2m-8-8(m-1)}{m-1}=frac{0}{m-1}=0$

⇒ A = 0 với mọi m ≠ 1 và m ≥ 4/5.

– Kết luận: A không phụ thuộc vào m.

III. Một số bài tập vận dụng hệ thức Vi-ét

* Bài 1: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm

a) x² + 9x + 8 = 0

b) $small 2x^2+(sqrt{3}-2)x-sqrt{3}=0$

* Bài 2: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình: 3x² + 5x – 6 = 0. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y₁, y₂ thỏa mãn: y₁ = 2x₁ – x₂ và y₂ = 2x₂ – x₁.

* Bài 3: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² – 3x – 7 = 0. Không giải phương trình tính giá trị của các biểu thức sau:

$small A=frac{1}{x_1-1}+frac{1}{x_2-1};$ $small B=x_{1}^{2}+x_{2}^{2};$ $small C=left |x_{1}-x_{2} ight |;$

$small D=x_{1}^{3}+x_{2}^{3};$ $small E=x_{1}^{4}+x_{2}^{4};$

Như vậy, hy vọng với nội dung về hệ thức Vi-ét Bài tập và ứng dụng vào bài toán liên quan ở trên sẽ giúp các em hiểu rõ hơn và có thể giải bài toán dạng này dễ dàng hơn.

Thực tế nội dung này còn có các bài tập vận dụng nâng cao như biện luận nghiệm, tính tổng nghiệm đối với các phương trình có chứa tham số. Có thể Trường TCSP Mẫu giáo – Nhà trẻ Hà Nội sẽ chia sẻ với các bạn ở những bài viết tiếp theo, chúc các bạn học tốt.

Hy vọng với bài viết Hệ thức Vi-et, Ứng dụng các dạng toán liên quan và Bài tập ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để Trường TCSP Mẫu giáo – Nhà trẻ Hà Nội ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Bản quyền bài viết thuộc trường trung học phổ thông Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng (thptsoctrang.edu.vn)

Trả lời Hủy